整数向上取整公式证明

数学公式在编程里的应用: 整数向上取整公式，常用于分页，分片的场景

背景

在用 AI 编程的时候，让它给我生成一个分页处理的工具类:

 public static <T> List<T> paginate(List<T> list, int page, int pageSize) {
    if (list == null || list.isEmpty()) {
        return Collections.emptyList();
    }
    if (pageSize <= 0) {
        throw new IllegalArgumentException("pageSize must be greater than 0");
    }

    int total = list.size();
    int totalPages = (total + pageSize - 1) / pageSize;

    int safePage = Math.max(1, page);
    if (safePage > totalPages) {
        return Collections.emptyList();
    }

    int skip = (safePage - 1) * pageSize;

    return list.stream()
            .skip(skip)
            .limit(pageSize)
            .collect(Collectors.toList());
}

在 Review 生成代码的时候，发现求总页数的计算让我有点好奇，为什么它用这个公式 求总页数: 总数除于分页大小, 如果余数大 0，就加一。在编程里，整数相除一般是向下取整，我第一反应想到的逻辑是：先除，后取模，根据取模结果判断是否 +1，btw，看 Mybatis Plus 的代码，发现他也是这么设计的:

    /**
     * 当前分页总页数
     */
    default long getPages() {
        if (getSize() == 0) {
            return 0L;
        }
        long pages = getTotal() / getSize();
        if (getTotal() % getSize() != 0) {
            pages++;
        }
        return pages;
    }

所以 AI 给我的这个计算方式着实让我好奇:

(total + pageSize - 1) / pageSize;

我很好奇，为什么是加b-1 和除以b

所以后来，我向 Chapt 老师请教了如何证明这个公式是有效的。

证明过程

“向上取整除法”的核心公式是：

前提：

• a ≥ 0, b > 0
• 除法采用整数除法（向下取整）
• 所有变量为整数

目标

我们要证明这个公式：

右边是整数除法（向下取整），但通过 +b-1 的技巧实现了向上取整效果。

整数除法基础（商和余）

设 a = bq + r，其中：

• q = a / b 是向下取整的商
• r = a % b 是余数，满足 0 ≤ r < b

因此：

• 如果 r = 0：说明 a 被 b 整除，结果无需进位。
• 如果 r > 0：则需进一位，即向上取整。

定义

定义：

分情况讨论

当 r = 0 时

• a = bq
• a + b - 1 = bq + b - 1

代入

得到:

因为整数除法是向下取整的， (b - 1) < b , 所以 (b - 1)/b 为 0

所以证明得

当 r > 0 时

• a = bq + r, 0 < r < b
• a + b - 1 = bq + r + b - 1 = b(q + 1) + (r - 1)

代入

得到:

讨论 (r - 1) 和 b 因为 0 < r < b , 所以 -1 < r - 1 < b - 1 < b 得 r-1 < b 所以

所以证明得, 当 r > 0 时

结语

因为只是涉及整数的运算，用不到浮点运算比 JDK Math提供的 ceil 更适合分页的场景 除此之外，还能用:

• 底层的 内存块 / 缓冲区申请

  btw, 和公司的嵌入式同事强哥提到的时候，他已经使用过了，对于嵌入式开发来说比较常用

• 文件的分块 ，以实现断点续传或分块并行下载
• 分布式任务调度的 分片计算
• 大数据任务计算的 批处理